L’algèbre est l’une des plus anciennes branches de l’histoire des mathématiques qui traite de la théorie des nombres, de la géométrie et de l’analyse. La définition de l’algèbre indique parfois que l’étude des symboles mathématiques et des règles implique la manipulation de ces symboles mathématiques. L’algèbre comprend presque tout, depuis la résolution d’équations élémentaires jusqu’à l’étude des abstractions. Les équations algébriques sont incluses dans de nombreux chapitres de mathématiques, que les étudiants apprendront au cours de leurs études. De plus, il existe plusieurs formules et identités présentes en algèbre.

Qu’est-ce que l’algèbre ?

L’algèbre aide à résoudre les équations mathématiques et permet de dériver des quantités inconnues, comme les intérêts bancaires, les proportions, les pourcentages. Nous pouvons utiliser les variables en algèbre pour représenter les quantités inconnues qui sont liées de manière à pouvoir réécrire les équations.

Les formules algébriques sont utilisées dans notre vie quotidienne pour trouver la distance et le volume des contenants et déterminer les prix de vente lorsque cela est nécessaire. L’algèbre est constructive en énonçant une équation mathématique et une relation en utilisant des lettres ou d’autres symboles représentant les entités. Les quantités inconnues dans l’équation peuvent être résolues grâce à l’algèbre.

Certains des principaux sujets relevant de l’algèbre comprennent les bases de l’algèbre, les exposants, la simplification des expressions algébriques, les polynômes, les équations quadratiques, etc.

Dans Leducationdedemain, les étudiants obtiendront les détails complets de l’algèbre, y compris ses équations, termes, formules, etc. Ils résoudront également des exemples basés sur les concepts d’algèbre et pratiqueront des fiches d’exercices pour mieux comprendre les fondamentaux de l’algèbre. L’algèbre 1 et l’algèbre 2 sont les cours de mathématiques proposés aux étudiants aux premiers et derniers stades de leur parcours académique, respectivement. Par exemple, l’algèbre 1 est l’algèbre élémentaire enseignée en classes de 7e, 8e ou parfois 9e, où les bases de l’algèbre sont enseignées. Mais l’algèbre 2 est une algèbre avancée, qui est pratiquée au niveau du lycée. Les problèmes d’algèbre impliqueront des expressions, des polynômes, le système d’équations, les nombres réels, les inégalités, etc. Apprenez davantage de symboles d’algèbre utilisés en mathématiques.

Branches de l’algèbre

Comme on le sait, l’algèbre est un concept basé sur des valeurs inconnues appelées variables. Le concept important de l’algèbre est celui des équations. Elle suit diverses règles pour effectuer des opérations arithmétiques. Les règles sont utilisées pour donner un sens à des ensembles de données qui impliquent deux variables ou plus. Elle est utilisée pour analyser de nombreuses choses qui nous entourent. Vous utiliserez probablement le concept d’algèbre sans vous en rendre compte. L’algèbre est divisée en différentes sous-branches telles que l’algèbre élémentaire, l’algèbre avancée, l’algèbre abstraite, l’algèbre linéaire et l’algèbre commutative.

Algèbre 1 ou algèbre élémentaire

L’algèbre élémentaire couvre les sujets traditionnels étudiés dans un cours moderne d’algèbre élémentaire. L’arithmétique comprend les nombres ainsi que les opérations mathématiques telles que +, -, x, ÷. Mais en algèbre, les nombres sont souvent représentés par des symboles et sont appelés variables, comme x, a, n, y. Elle permet également la formulation des lois de l’arithmétique telles que a + b = b + a et c’est la première étape qui montre l’exploration systématique de toutes les propriétés d’un système de nombres réels.

Les concepts relevant de l’algèbre élémentaire comprennent les variables, l’évaluation des expressions et des équations, les propriétés d’égalités et d’inégalités, la résolution des équations algébriques et des équations linéaires ayant une ou deux variables etc.

Algèbre 2 ou algbre avancée

s’agit du niveau intermédiaire l’algèbre. Cette algèbre com un niveau élevé d’équations àoudre par rapport à la pré-algèbre L’algèbre avancée vous aidera à aborder les autres parties de l’algèbre telles que :

• Équations avec des inégalités
• Matrices
• Résolution de systèmes d’équations linéaires
• Tracé de fonctions et d’équations linéaires
• Sections coniques
• Équation polynomiale
• Fonctions quadratiques avec des inégalités
• Polynômes et expressions avec des radicaux
• Suites et séries
• Expressions rationnelles
• Trigonométrie
• Mathématiques discrètes et probabilité

Algèbre abstraite

L’algèbre abstraite est l’une des divisions de l’algèbre qui découvre les vérités relatives aux systèmes algébriques indépendamment de la nature spécifique de certaines opérations. Ces opérations, dans des cas spécifiques, ont certaines propriétés. Ainsi, nous pouvons en déduire certaines conséquences de ces propriétés. C’est pourquoi cette branche des mathématiques s’appelle l’algèbre abstraite.

L’algèbre abstraite traite des structures algébriques comme les champs, les groupes, les modules, les anneaux, les treillis, les espaces vectoriels, etc.

Les concepts de l’algèbre abstraite sont les suivants :

1. Ensembles – Les ensembles sont définis comme la collection d’objets déterminés par une propriété spécifique pour un ensemble. Par exemple – un ensemble de toutes les matrices 2×2, l’ensemble des vecteurs bidimensionnels présents dans le plan et différentes formes de groupes finis.
2. Opérations binaires – Lorsque le concept d’addition est conceptualisé, cela donne les opérations binaires. Le concept de toutes les opérations binaires serait dénué de sens sans un ensemble.
3. Élément d’identité – Les nombres 0 et 1 sont conceptualisés pour donner l’idée d’un élément d’identité pour une opération spécifique. Ici, 0 est appelé l’élément d’identité pour l’opération d’addition, tandis que 1 est appelé l’élément d’identité pour l’opération de multiplication.
4. Éléments inverses – L’idée des éléments inverses apparaît avec un nombre négatif. Pour l’addition, on écrit “-a” comme l’inverse de “a” et pour la multiplication, la forme inverse est écrite “a-1”.
5. Associativité – Lorsque des entiers sont additionnés, il existe une propriété appelée associativité selon laquelle le regroupement de chiffres additionnés n’affecte pas la somme. Prenons un exemple : (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4)

Algèbre linéaire

L’algèbre linéaire est une branche de l’algèbre qui s’applique à la fois aux mathématiques appliquées et pures. Elle traite des applications linéaires entre les espaces vectoriels. Elle traite également de l’étude des plans et des droites. C’est l’étude des ensembles d’équations linéaires avec des propriétés de transformation. Elle est presque utilisée dans tous les domaines des mathématiques. Elle concerne les équations linéaires pour les fonctions linéaires avec leur représentation dans les espaces vectoriels et les matrices. Les sujets importants couverts en algèbre linéaire sont les suivants :

• Équations linaires
• Espaces vectoriels
• Relations
• Matrices et décomposition matricielle
• Relations et calculs

Algèbre commutative

L’algèbre commutative est l des branches de lalgèbre qui étudie lesaux commutatifs et leurs idéaux. La théorie des nombres algébriques ainsi que la géométrie algébrique dépendent de l’algèbre commutative. Elle comprend notamment les anneaux d’entiers algébriques, les anneaux de polynômes, etc. De nombreux autres domaines des mathématiques font appel à l’algèbre commutative de différentes manières, tels que la topologie différentielle, la théorie des invariants, la théorie de l’ordre et la topologie générale. Elle occupe une place remarquable dans les mathématiques pures modernes.

Parties de l’algèbre

Introduction à l’algèbre

• Bases de l’algèbre
• Addition et soustraction d’expressions algébriques
• Multiplication d’expressions algébriques
• BODMAS et simplification des parenthèses
• Méthode de substitution
• Résolution des inéquations

Exposants

• Introduction aux exposants
• Exposant
• Racines carrées et racines cubiques
• Irrationnels
• Simplification des racines carrées
• Lois des exposants
• Exposants en algèbre

Simplification

• Propriété associative, propriété commutative, lois distributives
• Produit en croix
• Fractions en algèbre

Polynômes

• Qu’est-ce qu’un polynôme ?
• Addition et soustraction de polynômes
• Multiplication de polynômes
• Expressions rationnelles
• Division de polynômes
• Division longue des polynômes
• Conjugé
• Rationalisation du dénominateur

Équations quadratiques

• Résolution des équations quadratiques
• Complétion du carré

Exemples résolus sur l’algèbre

Exemple 1: Résoudre l’équation 5x – 6 = 3x – 8.

Solution:

Donné,

5x – 6 = 3x – 8

En ajoutant 6 des deux côtés,

5x – 6 + 6 = 3x – 8 + 6

5x = 3x – 2

Soustraire 3x des deux côtés,

5x – 3x = 3x – 2 – 3x

2x = -2

En divisant les deux côtés de l’équation par 2,

2x/2 = -2/2

x = -1

Exemple 2:

Simplifier : (7x + 5)/(x – 4) – (6x – 1)/(x – 3) – 1/(x^2 – 7x + 12) = 1

Solution :

Considérons, x^2 – 7x + 12

= x^2 – 3x – 4x + 12

= x(x – 3) – 4(x – 3)

= (x – 4)(x – 3)

Maintenant, à partir de ce qui est donné,

(7x + 5)/(x – 4) – (6x – 1)/(x – 3) – 1/(x^2 – 7x + 12) = 1

Ici, PPCM des dénominateurs = (x – 4)(x – 3)

Ainsi,

[(7x + 5)(x – 3) – (6x – 1)(x – 4) – 1]/(x – 4)(x – 3) = 1

7x^2 – 21x + 5x – 15 – (6x^2 – 24x – x + 4) – 1 = (x – 4)(x – 3)

x^2 + 9x – 20 = x^2 – 7x + 12

9x + 7x = 12 + 20

16x = 32

x = 2

Exemple 3:

Solution:

Étant donné,

En enlevant les racines carrées de la partie gauche de l’équation, nous obtenons ;

x2 – 5 = 2401 – 1666x + 289×2

2401 – 1666x + 289×2 = x2 – 5

En ajoutant 5 des deux côtés,

2401 – 1666x + 289×2 + 5 = x2 – 5 + 5

289×2 – 1666x + 2406 = x2

En soustrayant x2 des deux côtés,

289×2 – 1666x + 2406 – x2 = x2 – x2

288×2 – 1666x + 2406 = 0

En utilisant la formule quadratique,

Donc, x = 3, 401/144

Exemple 4:

Résoudre pour x:

Solution:

Soit,

Nous savons que log2 base 2 = 1

donc,

Maintenant, en annulant le logarithme des deux côtés, nous obtenons;

(x2 – 6x) = 8(1 – x)

x2 – 6x = 8 – 8x

x2 – 6x + 8x – 8 = 0

x2 + 2x – 8 = 0

x2 + 4x – 2x – 8 = 0

x(x + 4) – 2(x + 4) = 0

(x – 2)(x + 4) = 0

Donc, x = 2, -4

Exemple 5: Résoudre 2ex + 5 = 115

Solution:

Soit,

2ex + 5 = 115

2ex = 115 – 5

2ex = 110

ex = 110/2

ex = 55

x = ln(55)

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Foire aux questions fréquemment posées sur l’algèbre

Qu’est-ce que l’algèbre ?

L’algèbre est une branche des mathématiques qui traite de la résolution d’équations et de la recherche des valeurs des variables. Elle peut être utilisée dans différents domaines tels que la physique, la chimie et l’économie pour résoudre des problèmes. L’algèbre ne se limite pas à la résolution d’équations, elle permet également de comprendre la relation entre les nombres, les opérations et les variables.

Pourquoi les élèves devraient-ils apprendre l’algèbre ?

L’algèbre est un outil puissant et utile pour la résolution de problèmes, la recherche et la vie quotidienne. Il est important pour les élèves d’apprendre l’algèbre afin d’améliorer leurs compétences en résolution de problèmes, leur compréhension générale et leur succès tant en mathématiques que dans d’autres matières.

Est-ce que l’algèbre est difficile à apprendre ?

L’algèbre n’est pas si difficile à apprendre, en fait, elle peut être simple et parfois même amusante. Certaines personnes disent que l’algèbre est une matière difficile à apprendre, tandis que d’autres affirment avec confiance qu’elle est facile. Si vous pensez avoir des difficultés avec l’algèbre, ne vous découragez pas par ce que les autres vous ont dit à ce sujet ; travaillez sur les problèmes de votre manuel jusqu’à ce que vous maîtrisiez les concepts sans difficulté.

Quels sont les fondamentaux de l’algèbre ?

Les fondamentaux de l’algèbre sont :
L’addition et la soustraction des expressions algébriques
La multiplication et la division des expressions algébriques
La résolution d’équations
Les équations littérales et les formules
Les problèmes verbaux appliqués

Mentionnez les types d’équations algébriques

Les cinq principaux types d’équations algébriques sont :
Les équations monomiales ou polynomiales
Les équations exponentielles
Les équations trigonométriques
Les équations logarithmiques
Les équations rationnelles

Quelles sont les branches de l’algèbre ?

Les branches de l’algèbre sont :
L’arithmétique préalable
L’algèbre élémentaire
L’algèbre abstraite
L’algèbre linéaire
L’algèbre universelle