La propriété associative explique que l’addition et la multiplication des nombres sont possibles indépendamment de la façon dont ils sont regroupés. Par regroupement, nous entendons les nombres qui sont donnés entre parenthèses (). Supposons que vous ajoutiez trois nombres, disons 2, 5, 6, tous ensemble. Même si nous regroupons les nombres dans les procédures d’addition telles que 2 + (5 + 6) ou (2 + 5) + 6, de toute façon le résultat sera le même. La même règle s’applique à la multiplication, c’est-à-dire 2 x (5 x 6) = (2 x 5) x 6. Cette propriété est presque similaire à la propriété commutative, où seuls deux nombres sont utilisés.
Propriété associative de-
Addition
2 + (5 + 6) = (2 + 5) + 6
2 + 11 = 7 + 6
13 = 13
Multiplication
2 × (5 × 6) = (2 × 5) × 6
2 × 30 = 10 × 6
60 = 60
Les équations mathématiques ont leurs propres principes de manipulation. Ces principes ou propriétés nous aident à résoudre de telles équations. Fondamentalement, il existe trois propriétés qui définissent l’essentiel des mathématiques et ces propriétés sont utilisées pour effectuer différentes opérations arithmétiques. Ce sont :
- La propriété associative
- La propriété commutative
- La propriété distributive
Définition de la propriété associative
Associatif, comme son nom l’indique, signifie regroupement. L’origine du terme associatif vient du mot “associer”. Les opérations mathématiques de base qui peuvent être effectuées en utilisant la propriété d’association sont l’addition et la multiplication. Cela s’applique normalement à plus de 2 nombres.
Lire la suite:
- Nombres rationnels
- Propriété commutative
- Propriété distributive
- Propriétés des entiers
Comme dans le cas de la propriété commutative, l’ordre du regroupement n’a pas d’importance dans la propriété associative. Cela n’altérera pas le résultat. Le regroupement des nombres peut être fait entre parenthèses, indépendamment de l’ordre des termes. Ainsi, la loi associative exprime que cela ne fait aucune différence quelle partie de l’opération est effectuée en premier ; la réponse sera la même.
Note: La propriété associative et commutative s’applique uniquement à l’addition et à la multiplication.
Propriété associative pour l’addition
L’addition suit la propriété associative, c’est-à-dire que peu importe comment les nombres sont parenthésés, la somme finale des nombres sera la même. La propriété associative de l’addition affirme que :
(x+y)+z = x+(y+z)
Prenons par exemple l’addition 5+10+4. On peut voir que la réponse est 19. Maintenant, regroupons les nombres ; mettons 5 et 10 entre parenthèses. Nous obtenons :
⇒ (5+10)+4 = 15+4 = 19 (N’oublions pas la règle BODMAS)
Maintenant, regroupons les termes comme 10 et 4 entre parenthèses ;
⇒ 5+(10+4) = 5 + 14 = 19
Oui, on peut voir que la somme dans les deux cas est la même. C’est la propriété associative de l’addition.
Voyons quelques exemples supplémentaires.
(1) 3+(2+1) = (3+2)+1
3+3 = 5+1
6 = 6
L.H.S = R.H.S
(2) 4+(-6+2) = [4 + (-6)] + 2
4 + (-4) = [4-6] + 2
4-4 = -2+2
0 = 0
L.H.S = R.H.S
Propriété associative pour la multiplication
La règle de la propriété associative de la multiplication est :
(xy) z = x (yz)
En résolvant 5×3×2, nous obtenons 30 comme produit. Maintenant, comme pour l’addition, regroupons les termes :
⇒ (5 × 3) × 2 = 15 × 2 = 30 (règle BODMAS)
Après avoir regroupé,
⇒ 5 × (3 × 2) = 5 × 6 = 30
Les produits seront les mêmes.
Ainsi, l’addition et la multiplication sont associatives par nature, mais la soustraction et la division ne le sont pas.
Par exemple, divisons 100 ÷ 10 ÷ 5
⇒ (100 ÷ 10) ÷ 5 ≠ 100 ÷ (10 ÷ 5)
⇒ (10) ÷ 5 ≠ 100 ÷ (2)
⇒ 2 ≠ 50
Soustrayons, 3 − 2 − 1
⇒ (3 − 2) − 1 ≠ 3 − (2 − 1)
⇒ (1) – 1 ≠ 3 − (1)
⇒ 0 ≠ 2
Ainsi, il est prouvé que la propriété associative n’est pas applicable aux méthodes de soustraction et de division.
Propriété associative des nombres rationnels
Les nombres rationnels suivent la propriété associative pour l’addition et la multiplication.
Supposons que a/b, c/d et e/f soient des nombres rationnels, alors l’associativité de l’addition peut être écrite comme suit:
(a/b) + [(c/d) + (e/f)] = [(a/b) + (c/d)] + (e/f)
De même, l’associativité de la multiplication peut être écrite comme suit:
(a/b) × [(c/d) × (e/f)] = [(a/b) × (c/d)] × (e/f)
Exemple: Montrer que (½) + [(¾) + (⅚)] = [(½) + (¾)] + (⅚) et (½) × [(¾) × (⅚)] = [(½) × (¾)] × (⅚).
Solution: (1/2) + [(3/4) + (5/6)] = (1/2) + [(9 + 10)/12]
= (1/2) + (19/12)
= (6 + 19)/12
= 25/12
[(1/2) + (3/4)] + (5/6) = [(2 + 3)/4] + (5/6)= (5/4) + (5/6)
= (15 + 10)/12
= 25/12
Donc, (½) + [(¾) + (⅚)] = [(½) + (¾)] + (⅚)
Maintenant, (1/2) × [(3/4) × (5/6)] = (1/2) × (15/24) = 15/48 = 5/16
[(1/2) × (3/4)] × (5/6) = (3/8) × (5/6) = 15/48 = 5/16Donc, (½) × [(¾) × (⅚)] = [(½) × (¾)] × (⅚)
Cliquez ici pour en savoir plus sur les différentes propriétés des nombres rationnels.
Questions fréquemment posées – FAQ
À quelles opérations s’applique la propriété associative ?
La propriété associative s’applique à l’addition et à la multiplication.
Qu’est-ce que la propriété associative ?
La propriété associative stipule que lorsque trois nombres ou plus sont ajoutés (ou multipliés), la somme (ou le produit) est identique quel que soit le regroupement des termes (ou des facteurs).
La propriété associative s’applique-t-elle à la soustraction et à la division ?
La propriété associative ne s’applique pas à la soustraction et à la division.
La multiplication est-elle toujours associative ?
En mathématiques, l’addition et la multiplication des nombres réels sont associatives.
Quelle est la formule générale pour la propriété associative ?
Propriété associative pour l’addition :
La règle pour la propriété associative de l’addition : (x+y)+z = x+(y+z)
Propriété associative pour la multiplication :
La règle pour la propriété associative de la multiplication est : (xy) z = x (yz)