En mathématiques, la propriété commutative ou loi commutative explique que l’ordre des termes n’a pas d’importance lors des opérations arithmétiques.
La propriété commutative s’applique uniquement aux processus d’addition et de multiplication. Cela signifie que nous pouvons changer la position ou échanger les nombres lors de l’addition ou de la multiplication de deux nombres. C’est l’une des principales propriétés des entiers.
Par exemple : 1+2 = 2+1 et 2 x 3 = 3 x 2.
Propriété commutative:
A + B = B + A (Addition)
A x B = B x A (Multiplication)
Qu’est-ce que la propriété commutative ?
Comme nous l’avons déjà discuté dans l’introduction, selon la propriété commutative ou loi commutative, lorsque deux nombres sont ajoutés ou multipliés ensemble, un changement de leur position ne change pas le résultat.
Exemples
2+3 = 3+2 = 5
2 x 3 = 3 x 2 = 6
5 + 10 = 10 + 5 = 15
5 x 10 = 10 x 5 = 50
Ainsi, il peut y avoir deux catégories d’opérations qui obéissent à la propriété commutative :
- Propriété commutative de l’addition
- Propriété commutative de la multiplication
Histoire
Bien que l’utilisation officielle de la propriété commutative ait commencé à la fin du XVIIIe siècle, elle était déjà connue à l’époque antique.
Le mot “commutatif” provient du mot français “commute ou commuter”, qui signifie échanger ou déplacer, combiné avec le suffixe “-atif” qui signifie “tendance à”. Par conséquent, le sens littéral du mot est “tendant à échanger ou à se déplacer”. Il indique que si nous échangeons les positions des entiers, le résultat restera le même.
Propriété commutative de l’addition
Selon la propriété commutative de l’addition, lorsque nous ajoutons deux entiers, la réponse restera inchangée même si la position des nombres est modifiée.
Soit A et B les deux entiers, alors ;
A + B = B + A
Exemples de propriété commutative de l’addition
1 + 2 = 2 + 1 = 3
3 + 8 = 8 + 3 = 11
12 + 5 = 5 + 12 = 17
Propriété commutative de la multiplication
Selon la propriété commutative de la multiplication, lorsque nous multiplions deux entiers, la réponse que nous obtenons après multiplication restera la même, même si la position des entiers est interchangée.
Soit A et B les deux entiers, alors ;
A × B = B × A
Exemples de propriété commutative de la multiplication
1 × 2 = 2 × 1 = 2
3 × 8 = 8 × 3 = 24
12 × 5 = 5 × 12 = 60
Faits importants sur la propriété commutative
- La propriété commutative s’applique uniquement à deux opérations arithmétiques : l’addition et la multiplication.
- Changer l’ordre des opérandes ne change pas le résultat.
- Propriété commutative de l’addition : A + B = B + A
- Propriété commutative de la multiplication : A.B = B.A
Autres propriétés
Les autres propriétés majeures de l’addition et de la multiplication sont :
Maintenant, observons également les autres propriétés ici :
Propriété associative de l’addition et de la multiplication
Selon la loi associative, peu importe comment les nombres sont regroupés, vous pouvez les additionner ou les multiplier ensemble, le résultat sera le même. En d’autres termes, l’emplacement des parenthèses n’a pas d’importance lorsqu’il s’agit d’additionner ou de multiplier.
Ainsi,
- A + (B + C) = (A + B) + C
- A.(B.C) = (A.B).C
Exemples :
1 + (2+3) = (1+2) + 3 → 6
3 x (4 x 2) = (3 x 4) x 2 → 24
Propriété distributive de la multiplication
La propriété distributive de la multiplication stipule que multiplier une somme par un nombre revient à multiplier chaque terme par la valeur et à ajouter les produits par la suite.
Selon la propriété distributive, si a, b et c sont des nombres réels, alors :
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Exemple :
2 x (5 + 8) = (2 x 5) + (2 x 8)
2 x (13) = 10 + 16
26 = 26
Il existe d’autres propriétés telles que la propriété d’identité et la propriété de clôture qui sont introduites pour les entiers.
Propriété non commutative
Certaines opérations sont non commutatives. Par non commutatif, nous entendons que le fait de changer l’ordre donne des résultats différents. Les opérations mathématiques, la soustraction et la division, sont les deux opérations non commutatives. Contrairement à l’addition, dans la soustraction, le fait de changer l’ordre des termes donne des réponses différentes.
Exemple : 4 – 3 = 1 mais 3 – 4 = -1 qui sont deux entiers différents.
De plus, la division ne suit pas la loi commutative. C’est-à-dire,
6 ÷ 2 = 3
2 ÷ 6 = 1/3
Donc, 6 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 6
Exemples résolus sur la propriété commutative
Exemple 1 : Lequel des éléments suivants obéit à la loi commutative ?
3 × 12
4 + 20
36 ÷ 6
36 – 6
-3 × 4
Solution : Les options 1, 2 et 5 suivent la loi commutative
Explication :
3 × 12 = 36 et
12 x 3 = 36
=> 3 x 12 = 12 x 3 (commutatif)
4 + 20 = 24 et
20 + 4 = 24
=> 4 + 20 = 20 + 4 (commutatif)
36 ÷ 6 = 6 et
6 ÷ 36 = 0.167
=> 36 ÷ 6 ≠ 6 ÷ 36 (non commutatif)
36 − 6 = 30 et
6 – 36 = –30
=> 36 – 6 ≠ 6 – 36 (non commutatif)
−3 × 4 = -12 et
4 x -3 = -12
=> −3 × 4 = 4 x -3 (commutatif)
Q.2 : Prouvez que a+ b = b+a si a = 10 et b = 9.
Sol : Étant donné que a = 10 et b = 9
LHS = a+b = 10 + 9 = 19 ……(1)
RHS = b + a = 9 + 10 = 19 ……(2)
Selon l’équation 1 et l’équation 2, selon la propriété commutative de l’addition, nous obtenons ;
LHS = RHS
Donc, prouvé.
Q.3 : Prouvez que A.B = B.A, si A = 4 et B = 3.
Sol : Donné, A = 4 et B = 3.
A.B = 4.3 = 12 ….. (1)
B.A = 3.4 = 12 …..(2)
Selon les équations (1) et (2), selon la propriété commutative de la multiplication, nous obtenons ;
LHS = RHS
A.B = B.A
Donc, prouvé.
Questions pratiques
Trouvez quelles sont les propriétés commutatives de l’addition et de la multiplication parmi les suivantes :
- 3 + 4 = 4 + 3
- 10 x 7 =7 x10
- 8 x9=9×8
- 6+4=4+6
Questions fréquemment posées – FAQ
Qu’est-ce que la propriété commutative ? Donnez des exemples.
En mathématiques, la propriété commutative indique que si l’on déplace ou échange la position des entiers lors des opérations d’addition ou de multiplication, le résultat reste le même.
Exemples :
4+5 = 5+4 et 4 x 5 = 5 x 4
9 + 2 = 2 + 9 et 9 x 2 = 2 x 9
Qu’est-ce que la propriété commutative de l’addition ?
Lorsque deux nombres sont ajoutés, si nous échangeons leur position, la somme des deux reste la même.
Par exemple, 3+4 = 4+3 = 7
Qu’est-ce que la propriété commutative de la multiplication ?
Lorsque deux nombres sont multipliés ensemble et si nous interchangeons leur position, le produit des deux reste le même.
Par exemple, 5 x 3 = 3 x 5 = 15
Quelles sont les quatre principales propriétés en mathématiques ?
Les quatre principales propriétés en mathématiques sont :
La propriété d’identité, la propriété commutative, la propriété associative et la propriété distributive.
Quelle est la différence entre la propriété commutative et la propriété associative ?
La propriété commutative est valable quel que soit l’ordre des nombres lors de l’addition ou de la multiplication. Alors que la propriété associative est valable quel que soit le regroupement des nombres.